Adiciona seção de modelagem matemática LCU e mais figuras

2-textuais/2-fundamentacao-teorica.tex

@@ -362,8 +362,7 @@ \section{Métricas de similaridade}\label{sec:teorica-metricas-de-similaridade}
 
 A distância euclidiana é o módulo da reta que conecta dois pontos no
 espaço. A distância de manhattan é a soma da diferença absoluta entre
-dois pontos para cada dimensão. Na figura
-\ref{fig:manhattan-vs-euclidean}, é ilustrado atavés de duas figuras
+dois pontos para cada dimensão. Na figura~\ref{fig:manhattan-vs-euclidean}, é ilustrado atavés de duas figuras
 em que são dispostos dois pontos $ x $ e $ y $ no espaço euclidiano
 com os módulos de reta usados para compor a distância de cada métrica.
 
@@ -381,13 +380,13 @@ \section{Métricas de similaridade}\label{sec:teorica-metricas-de-similaridade}
 distância euclidiana:
 
 \begin{equation}\label{eq:euclidian-distance}
-ed(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{{(y_1-x_1)}^2 + {(y_2-x_2)}^2 + \ldots + {(y_n-x_n)}^2}
+ed(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{{(y_1-x_1)}^2 + {(y_2-x_2)}^2 + \cdots + {(y_n-x_n)}^2}
 \end{equation}
 
 Para a distância de manhattan, tem-se a seguinte equação:
 
 \begin{equation}\label{eq:manhattan-distance}
-md(\vec{x}, \vec{y}) = |y_1-x_1| + |y_2-x_2| + \ldots + |y_n-x_n|
+md(\vec{x}, \vec{y}) = |y_1-x_1| + |y_2-x_2| + \cdots + |y_n-x_n|
 \end{equation}
 
 \subsection{Similaridade Euclidiana Exponencial}\label{sec:teorica-similaridade-euclidiana}
@@ -456,7 +455,7 @@ \section{LCU}\label{sec:teorica-lcu}
 \centering
     \captionsetup{width=14cm}
     \Caption{\label{fig:lcu-execution}
-      Rede complexa para execução da dinâmica \gls{LCU}. Anotação
+      Rede complexa para execução da dinâmica LCU.\@ Anotação
       parcial em~(\subref{fig:lcu-partial}) e resultado final em~(\subref{fig:lcu-done})
     }
 
@@ -477,13 +476,178 @@ \section{LCU}\label{sec:teorica-lcu}
 \FloatBarrier{}
 
 
-Na figura~\ref{fig:lcu-execution},é possível ver a execução do
+Na figura~\ref{fig:lcu-execution}, é possível ver a execução do
 algoritmo numa rede complexa densa aleatória, no início há alguns
 poucos vértices anotados em azul e vermelho. No final da execução os
 rótulos são propagados semanticamente baseado na disputa entre as
 partículas para dominar arestas, e por fim, marcar os vértices
 dominados por aquela classe.
 
+Em mais detalhes, durante uma única iteração do sistema na
+Figura~\ref{fig:lcu-iteration}, pode-se visualizar o passeio das
+partículas entre as fontes de párticulas (vértices rotulados) verde e
+vermelho. Algumas não sobreviveram ao processo, outras se mantiveram
+no sistema. Na última figura, uma contagem do número de partículas por
+classe que passaram pelas arestas pode ser visto.
+
+
+\begin{figure}[h!]
+        \captionsetup{width=8cm}
+		\Caption{\label{fig:lcu-iteration}
+          Iteração do sistema LCU em um grafo planar.
+        }
+		\centering
+		\UFCfig{}{\fbox{\includegraphics[width=8cm]{figuras/lcu-iteration}}}{\Fonte{\cite{VerriNetworkUnfoldingMap2018}}}
+\end{figure}
+
+
+\subsection{Modelagem matemática LCU com grafo ponderado}\label{sec:lcu-math}
+
+Considera-se uma rede complexa expressada por um simples grafo
+ponderado não-direcionado $G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})$, onde $\mathcal{V}$ é o conjunto de
+vértices e $\mathcal{E} \subset \mathcal{V} \times \mathcal{V}$ é o conjunto de arestas. A rede possui
+$\left|\mathcal{V}\right| = l + u$ vértices que podem ser representações de
+dados rotulados ($ l $) ou não-rotulados ($ u $). Os vértices anotados
+podem ter um rótulo $y_i = \{1, \ldots, C\}$, onde $C$ é o número total de
+classes, além disso possuem um vetor de características $\vec{x_i}$ da
+representação daquele dado. A rede é representada por uma matriz de
+adjacência $A = (a_{ij})$, onde $a_{ij} =a_{ji} =
+similarity(\vec{x_i}, \vec{x_j})$, na qual as arestas possuem um peso
+que se refere a similaridade entre os vetores de características
+representados pelos vértices. Nessa situação, supõe-se que $l << u$,
+ou seja, há muito mais dados não-rotulados do que rotulados, na qual
+caracteriza-se um cenário para aprendizado semi-supervisioado.
+
+Os vértices rotulados são chamados de fontes, que geram partículas com
+a classe que responde ao vértice. Partículas que alcançam um vértice fonte
+com classe diferente, são eliminados automaticamente do sistema.
+
+O sistema dinâmico não-linear $X(t)$ que representa o \gls{LCU} é definido
+matematicamente como:
+
+\begin{equation}\label{eq:lcu-x}
+  X(t):=\left[\begin{array}{c}
+    \mathbf{n}^c(t)={\left[n_i^c(t)\right]}_i \\
+    N^c(t)={\left(n_{i j}^c(t)\right)}_{i, j} \\
+    \Delta^c(t)={\left(\delta_{i j}^c(t)\right)}_{i, j}
+\end{array}\right]
+\end{equation}
+
+
+Onde $ \mathbf{n}^c(t)$ é um vetor linha cujo elementos $n_i^c(t)$
+representam a população de particulas com rótulo $c$ em cada vértice
+$v_i$ no tempo $t$. Os elementos $n_{i j}^c(t)$ representam o número
+de partículas da class $c$ que movem do vértice $v_i$ para $v_j$ no
+tempo $ t $, enquanto $\delta_{i j}^c(t)$ representa a movimentação
+acumulada de partículas da classe $c$ entre a aresta $(i, j)$ no tempo
+$t$.
+
+A função de evolução determinística do sistema dinâmico é definida
+por:
+
+\begin{equation}\label{eq:lcu-phi-evolution}
+  \phi:\left\{\begin{array}{l}
+    \mathbf{n}^c(t+1)= P^c(X(t)) \times \mathbf{n}^c(t) +\mathbf{g}^c(X(t)) \\
+    N^c(t+1)=\operatorname{diag} \mathbf{n}^c(t) \times P^c(X(t)) \\
+    \Delta^c(t+1)=\Delta^c(t)+N^c(t+1),
+  \end{array}\right.
+\end{equation}
+
+Entre as funções definidas na função de evolução, destaca-se a de
+probabilidade de sobrevivência das partículas $P^c(X(t))$, na qual os
+elementos dessa matriz define-se como:
+
+\begin{equation} \label{eq:lcu-probability}
+  p_{i j}^c(X(t)):= \begin{cases}0 & \text { se } v_j \in \mathcal{L} \text { e
+                                     } y_j \neq c, \\
+    \frac{a_{i j}}{\deg v_i}\left(1-\lambda \sigma_{i
+    j}^c(X(t))\right) & \text { do contrário }\end{cases}
+\end{equation}
+
+Sendo ${\deg v_i}$ o grau do vértice (número de arestas
+conectadas) e onde $\sigma_{i j}^c$ define-se como:
+
+\begin{equation}\label{eq:lcu-sigma}
+\begin{aligned}
+\sigma_{i j}^c(X(t)):= \begin{cases}1-\frac{n_{i j}^c(t)+n_{j i}^c(t)}{S} & \text { se } S>0, \\
+1-\frac{1}{C} & \text { do contrário, }\end{cases} \\
+\text { sendo } S=\sum_{q=1}^C n_{i j}^q(t)+n_{j i}^q(t) .
+\end{aligned}
+\end{equation}
+
+A modificação dessa dinâmica coletiva em relação a proposta original
+em~\cite{VerriNetworkUnfoldingMap2018} é realizada em $a_{ij}$,
+enquanto no trabalho original o grafo é não-ponderado e portanto todas
+arestas possuem valor unitário, nesse trabalho a aresta representa um
+valor de similaridade entre os vetores de características anexados ao
+vértice $v_i$ e $v_j$, dessa maneira aumentando a probabilidade de
+sobrevivência de partículas que se movimentam por arestas com maior
+similaridade.
+
+A última equação $\mathbf{g}^c(X(t))$ representa a geração de partícula nas
+fontes no tempo t, é definida como:
+
+\begin{equation}\label{eq:lcu-generation}
+  \begin{aligned}
+    g_i^c(X(t)) &:=\rho_i^c \max \left\{0, \mathbf{1} \cdot
+                  \mathbf{n}^c(0)-\mathbf{1} \cdot \mathbf{n}^c(t)\right\} \\
+    \rho_i^c &:= \begin{cases}\frac{\deg v_i}{\sum_{v_j \in \mathcal{G}^c}
+      \deg v_j} & \text { se } v_i \in \mathcal{G}^c, \\ 0 & \text {
+                                                               do contrário }\end{cases}
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+
+Na equação~\ref{eq:lcu-generation}, $\mathbf{1}$ onde 1 é o vetor cujo
+elementos são 1 e $\cdot$ se refere ao produto interno entre vetores. Além
+disso, $\mathcal{G}^c = \{v_i |v_i \in \mathcal{L} e y_i = c\}$ é o conjunto de fontes de
+particulas que pertencem a classe $c$ e $\mathcal{L}$ é o conjunto de
+vértices rotulados.
+
+
+Após alcançar a iteração máxima de um valor escolhido para $ \tau $, é possível
+dividir a rede complexa em sub-grafos, primeiramente agrupando as
+arestas por maior dominação de classe:
+
+\begin{equation}\label{eq:lcu-edges-by-class}
+  \mathcal{E}^c(t):=\left\{(i, j) \mid \underset{q}{\arg \max }\left(\delta_{i j}^q(t)+\delta_{j i}^q(t)\right)=c\right\}
+\end{equation}
+
+E, então, define-se o grafo por classe $c$ como:
+
+\begin{equation}\label{eq:lcu-subnetworks}
+  G^c(t):=\left(\mathcal{V}, \mathcal{E}^c(t)\right)
+\end{equation}
+
+Por fim, as redes $ G^c(\tau) $ são usadas para classificação dos
+vértices. São atribuidos o rótulo $y_j \in \{1, \ldots, C\}$ para cada
+vértices não-rotulado com a informação provida pela rede $G^c$.  O
+rótulo $y_j$ é atribuido baseado na densidade das arestas na sua
+vizinhaça. Formalmente, escrito como:
+
+\begin{equation}\label{eq:lcu-vertex-classification}
+y_j = \underset{c \in \{1, \ldots, C\}}{\arg \max }\left| \mathcal{E}(\mathcal{N}_{c,j}) \right|
+\end{equation}
+
+Na qual ${\mathcal{N}_{c,j}}$ são as arestas da vizinhaça do vértice $j$ que
+foram dominadas por párticulas da classe $c$. Na
+figura~\ref{fig:lcu-classification}, é ilustrado a dinâmica coletiva
+aplicada em uma rede complexa de formato similar a duas bananas, a
+ilustração está dividida em quatro etapas: (a) inicialização com 6
+vértices rotulados, 3 para cada classe, vértices pretos não estão
+rotulados; (b) 4 iterações do sistema, é visto as arestas coloridas
+sendo dominadas por particulas, enquanto as cinzas ainda não foram
+dominadas; (c) 20 iterações, todo o grafo foi percorrido; (d) a
+classificação dos vértices pela classe correspondente que obteve maior
+dominação.
+
+\begin{figure}[h!]
+        \captionsetup{width=12cm}
+		\Caption{\label{fig:lcu-classification}
+          Execução em quatro fases da dinâmica coletiva LCU.\@
+        }
+		\centering
+		\UFCfig{}{\fbox{\includegraphics[width=12cm]{figuras/lcu-classification}}}{\Fonte{\cite{VerriNetworkUnfoldingMap2018}}}
+\end{figure}
 
 \section{EGSIS}\label{sec:teorica-egsis}