2D.tex

\section{Zweidimensionale Richtungsbestimmung}
\subsection{Erweiterung der Theorie}
Um die eindimensionale Richtungsbestimmung auf zwei Dimensionen zu erweitern, muss man lediglich $s_y$ als nicht mehr konstant betrachten. Dadurch hat die Gleichung, die für das Eindimensionale eindeutig war, nun zwei Unbekannte: $s_x$ und $s_y$. Um im Zweidimensionalen eine Ortung durchzuführen, wird deswegen ein drittes Mikrofon $M_3$ benötigt. Auch der Abstand zwischen dem dritten Mikrofon und dem ersten darf maximal so groß wie die Wellenlänge sein. Mit dem dritten Mikrofon kann eine weitere Gleichung, die die Wegdifferenz zwischen dem ersten und dem dritten Mikrofon $\Delta{x_{13}}$ enthält, aufgestellt werden. Man erhält das Gleichungssystem:
\begin{gather}\begin{vmatrix}
  \abs{\vec{m}_1 - \vec{s}} - \abs{\vec{m}_2 - \vec{s}} = \Delta{x_{12}} \\
  \abs{\vec{m}_1 - \vec{s}} - \abs{\vec{m}_3 - \vec{s}} = \Delta{x_{13}}
\end{vmatrix}\\
\begin{vmatrix}
  \sqrt{{(m_{1x} - s_x)}^2 + {(m_{1y} - s_y)}^2} - \sqrt{{(m_{2x} - s_x)}^2 + {(m_{2y} - s_y)}^2} = \Delta{x_{12}} \\
  \sqrt{{(m_{1x} - s_x)}^2 + {(m_{1y} - s_y)}^2} - \sqrt{{(m_{3x} - s_x)}^2 + {(m_{3y} - s_y)}^2} = \Delta{x_{13}}
\end{vmatrix}
\end{gather}
Grafisch veranschaulicht entspricht dieses Gleichungssystem der Suche nach dem Schnittpunkt von zwei halben Hyperbeln um zwei der Mikrofone:
\begin{figure}[H]
	\vspace{-20pt}
  \includegraphics[width=\linewidth]{img/skizze1d}
  \caption{Veranschaulichung des Gleichungssystems durch den Schnittpunkt von zwei Hyperbeln. Die roten Punkte stellen die Mikrofone dar und der blaue Punkt die Schallquelle.}
\end{figure}

\subsection{Analytische Lösung des Gleichungssystems}
Dieses Gleichungssystem haben wir mithilfe des Computeralgebrasystems \textit{Wolfram Mathematica}~\cite{mathematica} nach $\vec{s}$ aufgelöst:
\begin{lstlisting}[language=Mathematica,caption={Befehl für das Lösen des Gleichungssystem in \textit{Mathematica}.}]
  Solve[{
    Sqrt[{(m1x - sx)}^2 + {(m1y - sy)}^2] - Sqrt[{(m2x - sx)}^2 + {(m2y - sy)}^2] = dx12,
    Sqrt[{(m1x - sx)}^2 + {(m1y - sy)}^2] - Sqrt[{(m3x - sx)}^2 + {(m3y - sy)}^2] = dx13},
  {sx, sy}]
\end{lstlisting}
Da das Gleichungssystem nicht linear ist, ist die Lösung sehr kompliziert, gedruckt entspricht sie fünf Seiten. \textit{Mathematica} findet für dieses Gleichungssystem außerdem zwei allgemeine reelle Lösungen, man erhält also zwei mögliche Richtungen.